anton collection: Desember 2015

BAB I

SISTEM BILANGAN

1. Penjumlahan Biner
Penjumlahan Biner serupa dengan penjumlahan pada
bilangan desimal. Dua bilangan yang akan dijumlahkan
disusun secara vertikal dan digit-digit yang mempunyai
signifikasi sama ditempatkan pada kolom yang sama. Digitdigit
ini kemudian dijumlahkan dan jika dijumlahkan lebih
besar dari bilangan basisnya (10 untuk desimal dan 2
untuk biner), maka ada bilangan yang disimpan. Bilangan
yang disimpan ini kemudian dijumlahkan dengan digit
disebelah kirinya, dan seterusnya. Dalam penjumlahan
biner, pinyimpanan aka terjadi jika jumlah dari dua digit
yang dijumlahkan adalah 2.
Operasi ilmu hitung dengan bilangan biner juga
mengikuti aturan yang berlaku untuk bilangan desimal,
bahkan lebih sederhana karena angka-angkanya yang
terlibat hanyalah 0 dan 1.
Untuk mendapatkan aturan penambahan dalam bilangan
biner perlu dibahas empat kasus sederhana berikut:
1. Bila kosong ditambah dengan kosong, Hasilnya adalah
kosong. Perwakilan biner dalam hal ini adalah 0 + 0 =
0.
2. Bila kosong ditambah dengan 1 maka hasilnya adalah 1.
Dengan bilangan biner dapat dituliskan sebagai 0 + 1 =
1.
3. Bila 1 ditambah dengan kosong, hasilnya 1. Setara biner
untuk ini adalah 1 + 0 = 1.
Modul Teknik Digital
Laboratorium Teknik Digital
SMK Telkom Sandhy Putra Malang
4. Bila 1 ditambah dengan 1, Hasilnya adalah 2. Dengan
menggunakan bilangan biner, hal itu diwakili oleh 1 +
1 = 10.
Jadi keempat kasus di atas dapat disimpulkan sebagai
berikut:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (0 dengan simpanan 1)
untuk menjumlahkan bilangan yang lebih besar, simpanan
untuk kolom dengan urutan yang lebih tinggi dilakukan
seperti hanya dengan bilangan desimal biasa.
Contoh
Jumlahkanlah bilangan biner 101 dengan 110.
Jawab 101
110 +
1011
Kolom pertama : 1 + 0 = 1
Kolom kedua : 0 + 1 = 1
Kolom ketiga : 1 + 1 = 10 (0 dengan simpanan 1)
2. Pengurangan Biner
Pada bagian ini hanya akan ditinjau pengurangan
bilangan biner yang memberikan hasil positif. Dalam hal
ini, metode yang digunakan adalah sama dengan metode yang
digunakan untuk pengurangan pada bilangan desimal. Dlam
pengurangan bilangan biner jika perlu dipinjam 1 dari
kolom disebelah kirinya, yaitu kolom yang mempunyai
derajat lebih tinggi.
Modul Teknik Digital
Laboratorium Teknik Digital
SMK Telkom Sandhy Putra Malang
Untuk mengurangkan bilangan biner, ditinjau terlebih
dahulu empat kasus berikut:
0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
10 – 1 = 1
Hasil terakhir itu mewakili 2 – 1 = 1. Dalam operasi
pengurangan tersebut, seperti halnya dengan pengurangan
bilangan desimal, dilakukan kolom demi kolom. Bila perlu
dilakukan Peminjaman dari kolom dengan urutan yang lebih
tinggi.
Contoh
Hitunglah 110 dikurangi dengan 101.
Jawab
110
101 -
001
Kolom pertama : 10 – 1 = 1 (setelah meminjam)
Kolom kedua : 0 – 0 = 0 (setelah dipinjamkan)
Kolom ketiga : 1 – 1 = 0
3. Perkalian Biner
Perkalian pada bilangan biner mempunyai aturan
sebagai berikut :
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
Modul Teknik Digital
Laboratorium Teknik Digital
SMK Telkom Sandhy Putra Malang
Perkalian bilangan biner dapat dilakukan seperti
pada perkalian bilangan desimal. Sebagai contoh, untuk
mengalikan 11102 = 1410 dengan 11012 = 1310 langkah-langkah
yang harus ditempuh adalah
Biner Desimal
1 1 1 0 1 4
1 1 0 1 1 3
--------x ----x
1 1 1 0 4 2
0 0 0 0 1 4
1 1 1 0
1 1 1 0
---------------+ -------+
1 0 1 1 0 1 1 0 1 8 2
Perkalian juga bisa dilakukan dengan menambahkan bilangan
yang dikalikan ke bilangan itu sendiri sebanyak bilangan
pengali.
Contoh di atas, hasilnya akan sam dengan jika kita
menambahkan 1112 ke bilangan itu sendiri sebanyak 1101
atau 13 kali.
4. Pembagian Biner
Pembagian pada sistem bilangan biner dapat
dilakukan sama seperti contoh pembagian sistem bilangan
desimal. Sebagai contoh, untuk membagi 110011 (disebut
bilangan yang dibagi) dengan 1001 (disebut pembagi),
langkah-langkah berikut yang perlu dilakukan.
Modul Teknik Digital
Laboratorium Teknik Digital
SMK Telkom Sandhy Putra Malang
Hasil 1 0 1
----------------
1 0 0 1 / 1 1 0 0 1 1
/ 1 0 0 1
------------------
0 0 1 1 1 1
1 0 0 1
------------
sisa 1 1 0
Sehingga hasilnya adalah 1012, dan sisa pembagian adalah
1102.
Pembagian bisa juga dilakukan dengan cara menjumlahkan
secara berulang kali dengan bilangan pembagi dengan
bilangan itu sendiri sampai jumlahnya sama dengan
bilangan yang dibagi atau setelah sisa pembagian yang
diperoleh lebih kecil dari bilangan pembagi.
5. Komplemen R
Dalam sistem digital, komplemen digunakan untuk
memudahkan operasi pengurangan dan untuk manipulasi
logika. Ada dua macam komplemen untuk setiap sistem
bilangan dengan radiks R: komplemen-R dan komplemen-(R-
1). Bila nilai radiks itu diberikan, kedua jenis
komplemen itu mempunyai nama yang sesuai dengan nilai
Hasilnya; komplemen-10 dan komplemen-9 untuk bilangan
desimal, komplemen-1 dan komplemen-0 untuk sistem biner.
Komplemen-R untuk suatu bilangan nyata positif-N
dengan radiks R dan bagian bulatnya terdiri atas n angka,
didefinisikan sebagai
Modul Teknik Digital
Laboratorium Teknik Digital
SMK Telkom Sandhy Putra Malang
Rn – N untuk N ≠1
0 untuk N = 0
komplemen-10 untuk 4321010 adalah 105 – 43210 = 56790
karena banyaknya angka tersebut adalah n = 5.
Komplemen-10 untuk 0.09810 adalah 100 – 0.098 = 0.902.
Dalam hal ini bilangan itu tidak mempunyai bilangan bulat
sehingga n = 0.
Komplemen-10 untuk 765.4310 adalah 103 – 765.43 = 234.57
Komplemen-2 untuk 11001102 adalah 210
7 – 11001102 =
100000002 – 11001102 = 00110102.
Komplemen-2 untuk 0.10102 adalah 1 – 0.10102 = 0.01102.
Dari definisi dan uraian di atas, jelas bahwa komplemen-
10 untuk bilangan desimal dapat dibentuk dengan
membiarkan semua 0 pada kedudukan yang terendah tidak
berubah, mengurangkan semua angka apda kedudukan ayng
lebih tinggi lainnya dari 9. komplemen-2 dapat dibentuk
dengan membiarkan semua nol pada LSB dan 1 yang pertama
dari kanan tidak berubah, dan kemudian mengubah semua 1
yang lain menjadi 0 dan semua 0 yang lain menjadi 1.
Komplemen-R suatu bilangan dapat diperoleh untuk setiap
radiks (R lebih besar dan tidak sama dengan 1) dengan
definisi yang telah diberikan itu.
Cara pengurangan langsung yang diajarkan di sekolah
dasar adalah menggunakan konsep pinjaman. Dalam cara itu,
bila pada salah satu kolom nilai yang dikurangi lebih
besar daripada yang mengurangi, dipinjam sebuah 1 dari
kolom dengan kedudukan yang lebih tinggi. Hal yang
demikian itu sangat mudah bila dikerjakan di atas kertas.
Bila cara pengurangan itu dilakukan dengan pertolongan
rangkaian logika, cara itu ternyata kurang efisien.
Modul Teknik Digital
Laboratorium Teknik Digital
SMK Telkom Sandhy Putra Malang
Metode pengurangan dengan memanfaatkan komplemen dan
penjumlahan lebih sesuai untuk dikerjakan dengan
rangkaian logika.
Pengurangan dua bilangan positif (M – N), dan
keduanya mempunyai radiks R yang sama, dapat dilakukan
dengan cara sebagai berikut:
1. Tambahkan bilangan yang dikurangi, M, ke komplemen-R
dari bilangan yang mengurangi, N.
2. Periksa hasil penjumlahan yang diperoleh dalam langkah
1 itu.
a. Jika Hasilnya mempunyai simpanan akhir,
abaikan simpanan akhir itu.
b. Jika Hasilnya tidak mempunyai simpanan
akhir, cari komplemen-R untuk bilangan yang
diperoleh dalam langkah 1 dan berikan tanda
negatif depannya.
6. Komplemen R-1
Untuk suatu bilangan positif N dengan radiks R dan bagian
bulatnya terdiri dari n angka serta bagian pecahannya m
angka, komplemen –(R – 1) untuk N didefinisikan sebagai
Rn – Rm – N
Komplemen-9 untuk 4321010 adalah 105 – 100 – 43210 = 99999
– 43210 = 56789. dalam hal ini bilangan tersebut tidak
mempunyai bagian pecah sehingga m = 0.
Komplemen-9 untuk 0.987610 adalah 100 – 10-4 – 0.9876 =
0.9999 – 0.9876 = 0.0123. Di sini bilangan itu tidak
mempunyai bagian bulat sehingga n = 0.
Komplemen-9 untuk 23.45610 adalah 102 – 10-3 – 23.456 =
99.999 – 23.456 = 76.543.
Modul Teknik Digital
Laboratorium Teknik

I.1. Sistem Bilangan Biner.

Sistem bilangan yang paling kita kenal adalah sistem bilangan desimal. Selain sistem bilangan desimal terdapat bermacam-macam sistem bilangan, salah satunya ada-lah sistem bilangan biner. Masing-masing sistem bilangan tersebut dibatasi oleh basis yaitu banyaknya angka atau digit yang digunakan.

Sistem bilangan desimal mempunyai basis = 10 karena sistem bilangan desimal mempunyai 10 digit yaitu dari 0 sampai dengan 9. Arti biner adalah dua. Sistem bilangan biner hanya menggunakan dua digit, yaitu 0 dan 1. Seluruh digit yang lain (2 sampai 9) tidak dipergunakan. Dengan perkataan lain, bilangan-bilangan biner merupa-kan string dari 0 dan 1.

Bobot dari suatu bilangan tergantung kepada basis-nya dan susunan bilangan ter-sebut. Misalnya untuk bilangan desimal 278,94 mempunyai bobot :

(2x10²)+(7x10¹)+(8x10⁰)+(9x10^-1) +(4x10^-2) = 200 + 70 + 8 + 0,9 + 0,04 = (278,94)₁₀

Dari penulisan di atas kita dapat melihat bahwa 2 mewakili harga ratusan (10²), 7 mewakili harga puluhan (10¹), 8 mewakili harga satuan (10⁰), 9 mewakili harga perse-puluhan (10^-1), dan 4 mewakili harga perseratusan (10^-2).

Demikian pula halnya dengan bobot bilangan untuk bilangan biner, cara per-hitungannya persis sama, cuma angka 10 diganti dengan angka 2. Contoh untuk bilangan 1101,101:

(1x2³) + (1x2²) + (0x2¹) + (1 x2 ⁰) + ( 1x 2^-1) + ( 0x2^-2) + ( 1x2^-3) = 8+ 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,125 = ( 13,625)₁₀

Contoh 2 10111,011= 23,375

Dari perhitungan dapat dilihat bahwa digit yang paling kanan mempunyai nilai yang terkecil, sedang digit yang paling kiri mempunyai nilai yang terbesar. Digit yang mempunyai nilai yang terkecil disebut LSB (Least Significant Bit) dan digit yang mempunyai nilai yang terbesar disebut MSB (Most Significant Bit).

I.2. Berhitung Biner.

Sebagaimana halnya dengan bilangan desimal, yang dapat dilakukan di dalamnya berbagai operasi komputasi (perhitungan), maka pada bilangan-bilangan biner dapat pula dikerjakan operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

I.2.1. Penjumlahan Biner.

Penjumlahan bilangan biner sama saja caranya dengan penjumlahan bilangan desi-mal. Aturan yang digunakan untuk penjumlahan adalah :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 , dengan pindahan 1 pada bit biner sebelah kirinya.

Contoh :

1). 1 0 0 1 (9) 2). 0 1 1 1 (7)

1 1 1 0 (14) 1 0 1 0 (10)

--------------- _{+ ----------------------------. +}

1 0 1 1 1 (23) 10 0 0 1 (17)

I.2.2. Pengurangan Biner

Pengurangan bilangan biner dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti pengurangan bilangan desimal, yaitu sebagai kebalikan dari penjumlahan. Tiap-tiap bit dari pengurang (subtrakenol) mengurangi bit yang berpadanan dengan bilangan yang dikurangi (minunol). Jika angka diminunol lebih kecil dari angka pengurang, maka dipinjam satu (1) dari lajur berikutnya sebelah kiri. Meminjam kebalikan dari pindahan . Cara pengurangan demikian ternyata tidak cocok untuk diwujudkan secara elektronik, karena akan membuat rangkaian menjadi rumit. Hal ini disebabkan karena tidak ada konsep logika -1. Sehingga perlu dicari cara untuk mempresentasikan bilangan-bilangan negatif. Untuk mengatasai cara ini, maka dipakai metoda " mengkomplemen dan menjumlah".

Komplemen dari suatu bilangan biner diperoleh dengan cara membalik tiap-tiap bit dari bilangan tersebut.

Komplemen dari subtrakenol dijumlahkan dengan minunol dan hasil pindahan dari jumlah bit yang bobotnya paling besar (MSB) dicatat. Jika hasilnya adalah 1, berarti bahwa hasil pengurangan adalah bilangan positif. Untuk mendapatkan hasil akhirnya, maka harus dilakukan "pemindahan memutar ke ujung" (lend around car-ry) dan bit yang paling kecil bobotnya (LSB) harus ditambahkan dengan bit pin-dahan tersebut. Bila bit pindahannya adalah 0, maka dapat disimpulkan:

a. Hasil pengurangan adalah negatif.

b. Hasil pengurangan merupakan komplemen dari jawaban akhir karena itu untuk mendapatkan hasil akhir yang benar, maka hasil penjumlahan tersebut harus dikomplemenkan.

Contoh:

1). 1001 (9) - 0100 (4) 2). 0111 (7) - 1101(13)

1001 (9) 0111 (7)

1011 (komplemen-1 dari 4) 0010(komplemen dari 13

------------ + --------- +

1 0100 (jumlah) 01001jumlah)

1 (pindahan memutar ke ujung) 0110 (komplemen-1=hasilnya)

-------+ menunjukkan hasilnya bil.negatif -6

menanda- 0101 (Hasilnya +5)

kan hasilnya bil.positif

1100

7 0111 à komp-1 1000

-----

1 0100

0101à 5

Bila menggunakan metode ini ada dua hal yang harus diperhatikan :

1. Kedua bilangan harus dituliskan dalam jumlah bit yang sama, misalnya bila suatu bilangan yang terdiri dari 5 bit (10011) dikurangi dengan bilangan yang terdiri dari 3 bit (101), maka bilangan tersebut harus dituliskan dahulu dalam 5 bit yaitu 00101 dan bila dikomplemenkan akan menjadi 11010.

2. Perlu diperhatikan jumalh bit yang digunakan dalam perhitungan sehinggaakan menjadi jelas mana bit yang merupakan hasil pindahan yang akan menentukan tanda bilangan. Bila perhitungan menggunakan 5 bit, maka bit yang ke-6 meru-pakan pindahan, jadi bukan bit yang paling besar bobotnya. Bit tersebut hanya merupakan tanda positif atau negatif dari bilangan hasil pengurangan yang juga akan menentukan.

Contoh :

111 (7) - 10110 (22)

00111 (7)

01001 (komplemen dari 22)

-------- +

10000 (jumlah)

01111 (komplemen = hasilnya - 15)

1.2.3. Perkalian Biner

Cara untuk mengalikan bilangan biner seperti pada perkalian bilangan desimal.

Contoh : 1100 (12) x 1011 (4) ------------------> 1100

1011

-------x

1100

0000

1100

------------

10000100 (Hasil = 132)

1.2.4. Pembagian Bilangan Biner

Caranya sama saja dengan pembagian pada bilangan desimal.

Contoh : 1010 (10) : 100 (4) = 10,1 (2,5) 10,1

100 1010

---

100

---- -

1.3. Konversi Bilangan dari Satu Radiks ke Radiks Lainnya.

1.3.1. Mengubah Bilangan Desimal Menjadi Bilangan Biner.

Caranya dapat dilihat pada bahagian sebelumnya.

1.3.2. Mengubah Bilangan desimal menjadi Bilangan Oktal.

Caranya sama dengan untuk proses konversi bilangan biner hanya pembaginya yang berbeda yaitu 8.

Contoh : Carilah Bilangan Oktal dari (872)₁₀

872 : 8 = 109 sisa 0 (LSB)

109 : 8 = 13 sisa 5

13 : 8 = 1 sisa 5

1 : 8 = 0 sisa 1 (MSB)

Hasilnya : (872)₁₀ = (1550)₈

1.8*3+5.8*2+5.8*1+0.8*0

512+320+40+0=872

1.3.3. Mengubah Bilangan Desimal Menjadi Bilangan Hexadesimal.

Caranya adalah sama dengan mengubah ke bilangan biner hanya pembaginya = 16.

Contoh : Carilah bilangan hexadesimal dari (8754)₁₀

8764 : 16 = 547 sisa 12 (LSB) 0-15 10 A, 11 B, 12 C

547 : 16 = 34 sisa 3

34 : 16 = 2 sisa 2

2 : 16 = 0 sisa 2 (MSB)

Hasilnya : (8754)₁₀ = (223C)₁₆

1.3.4. Mengubah Bilangan Biner Menjadi Bilangan Oktal.

Untuk mengubah bilangan biner menjadi bilangan oktal yaitu dengan menge-lompokkan bit-bit bilangan biner tersebut yang terdiri dari 3 bit dimulai dari LSB masing-masing kelompok tersebut. Kemudian dibaca bobot bilangannya atau nilai desi-malnya. Susunan bobot-bobot bilangan tersebut sudah merupakan bilangan oktalnya.

Contoh : Hitunglah nilai oktal dari (101110111)₂

101 / 110 / 111 = 101 110 111

5 6 7

Hasilnya : (101110111)₂ = (567)₈

1.3.5. Mengubah Bilangan Oktal Menjadi Bilangan Biner.

Cara mengubah bilangan oktal menjadi bilangan biner yaitu masing-masing digit bilangan oktal tersebut diubah langsung menjadi bilangan biner yang terdiri dari 3 bit. Kemudian kelompok bit tersebut disusun sesuai dengan urutan semula.

Contoh : Ubahlah (251)₈ menjadi bilangan biner.

( 2 5 1 )₈ = ( 010 101 001)₂

010 101 001

1.3.6. Mengubah Bilangan Biner Menjadi Bilangan Hexadesimal.

Cara mengubah bilangan biner menjadi bilangan hexadesimal yaitu dengan cara mengelompokkan bilangan biner tersebut menjadi kelompok yang terdiri dari 4 bit dimulai dari LSB. Susunan dari bobot bilangan masing-masing kelompok tersebut adalah bilangan hexadesimal yang dicari.

Contoh : Ubahlah ( 110101101011)₂ menjadi bilangan hexadesimal.

1101 / 0110 / 1011 = ( D6B )₁₆

13=D 6 B

1.3.7. Mengubah Bilangan Hexadesimal Menjadi Bilangan Biner.

Cara untuk mengubah bilangan hexadesimal menjadi bilangan biner yaitu masing-masing digit bilangan hexadesimal tersebut diubah langsung menjadi bilangan biner yang terdiri dari 4 bit kemudian kelompok bit tersebut disusun sesuai dengan urutan semula.

Contoh : Ubahlah (251)₁₆ menjadi bilangan biner .

( 2 5 1 )₁₆ = (1001010001)₂

0010 0101 0001

1.3.8. Bilangan Pecahan.

Rumus bobot bilangan untuk bilangan pecahan :

d_-1r ^-1+ d_-2 r^-2+ ...............+ d_-nr ^-n

Sehingga rumus umum untuk suatu bilangan utuh dan pecahan adalah :

N(r) = d_nrⁿ + d_n-1r^n-1 + .........+ d₁r¹ + d₀r⁰ + d _-1r^-1 + d_-2r^-2 + ........+ d_-nr^-n

dimana : n = menunjukkan digit yang ke berapa dihitung dari do

d = digit yang digunakan r = radiks dari bilangan

Contoh :

( 25,1 )₈ = ( 2x 8¹ ) + ( 5 x 8⁰ ) + ( 1x 8^-1 ) = 16 + 5 + 1/8 = ( 21,125 )₁₀

( 10,11 )₂ = ( 1 x2¹ ) + (1 x 2^-1 ) + ( 1x2^-2 ) = 2 + 0,5 + 0,25 = ( 2,75 )₁₀ Untuk mengubah bilangan desimal yang mengandung pecahan menjadi bilangan radiks lain, maka masing-masing bagian yang utuh dan yang pecahan dikerjakan sendiri-sendiri. Bilangan yang utuh iubah dengan cara pembagian sesuai dengan radiksnya terus-menerus sampai habis. Sedangkan bilangan pecahan diubah dengan cara mengalikan berturut-turut dengan radiks baru yang dikehendaki.

Tiap-tiap hasil perkalian yang utuh (bukan pecahan) akan menjadi digit-digit pecahan bilangan baru tersebut.

32 16 8 4 2 1

A. Operasi-operasi logika dasar

Ada beberapa operasi-operasi dasar pada suatu rangkaian logika dan untuk menunjukkan suatu perilaku dari operasi-operasi tersebut biasanya ditunjukkan dengan menggunakan suatu tabel kebenaran. Tabel kebenaran berisi statemen- statemen yang hanya berisi:

• Benar yang dilambangkan dengan huruf “T” kependekan dari “True” atau bisa juga dilambangkan dengan angka 1. atau

• Salah yang dilambangkan dengan huruf “F” kependekan dari “False” atau bisa juga dilambangkan dengan angka 0.

B. Gerbang-gerbang logika (Logic Gates)

Gerbang-gerbang logika yang khususnya dipakai di dalam komputer digital, dibuat dalam bentuk IC (Integrated Circuit) yang terdiri atas transistor-transistor, diode dan komponen-komponen lainnya. Gerbang-gerbang logika ini mempunyai bentuk-bentuk tertentu yang dapat melakukan operasi-operasi INVERS, AND, OR serta NAND, NOR, dan XOR (Exclusive OR). NAND merupakan gabungan AND dan INVERS sedangkan NOR merupakan gabungan OR dan INVERS.

a. Gerbang AND Dan NAND

Gerbang AND digunakan untuk menghasilkan logika 1 jika semua masukan mempunyai logika 1, jika tidak akan dihasilkan logika 0. Daftar yang berisi kombinasi semua kemungkinan keadaan masukan dan keluaran yang dihasilkan disebut sebagai Tabel kebenaran dari gerbang yang bersangkutan.

Gerbang NAND akan mempunyai keluaran 0 bila semua masukan pada logika 1. Sebaliknya, jika sbeuah logika

0 pada sembarang masukan pada gerbang NAND, maka keluarannya akan bernilai 1. Kata NAND merupakan kependekan dari NOT-AND, yang merupakan ingkaran gerbang AND.

AND A & A

B F B F

NAND A & A

B F B F

Gambar Simbol AND dan NAND

Tabel Kebenaran dari Gerbang AND dan NAND

Masukan		Keluaran
A	B	AND	NAND
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	1 1 1 0

b. Gerbang OR Dan NOR

Gerbang OR akan memberikan keluaran 1 jika salah satu dari masukannya pada keadaan 1. Jika diinginkan keluaran bernilai 0, maka semua masukan harus dalam keadaan 0 .

Gerbang NOR akan memberikan keluaran 0 jika salah satu dari masukkannya pada keadaan 1. Jika diinginkan keluaran bernilai 1, maka semua masukan harus dalam keadaan 0. Kata NOR merupakan kependekan dari NOT-OR, yang merupakan ingkaran dari gerbang OR.

OR A ≥ F B

GERBANG LOGIKA

1. DEFINISI GERBANG LOGIKA

Komputer Digital merupakan sebuah sistem digital yang melaksanakan bermacam-macam tugas komputasional. Dalam komputer digital, manipulasi informasi biner dilakukan oleh rangkaian-rangkaian logika yang disebut gerbang-gerbang (gates).

Gerbang logika adalah blok bangunan dasar untuk membentuk rangkaian elektronika digital, yang digambarkan dengan simbol-simbol tertentu yang telah ditetapkan. Sebuah gerbang logika memiliki beberapa masukan tetapi hanya memiliki satu keluaran. Keluarannya akan HIGH (1) atau LOW (0) tergantung pada level digital pada terminal masukan. Dengan menggunakan gerbang-gerbang logika, kita dapat merancang dan mendesain suatu sistem digital yang akan dikendalikan level masukkan digital dan menghasilkan sebuah tanggapan keluaran tertentu berdasarkan rancangan rangkaian logika itu sendiri. Hubungan input dan output dari variabel biner untuk setiap gerbang dapat disajikan dalam sebuah tabel yang disebut “tabel kebenaran” (truth table).

Beberapa gerbang logika dasar yang akan dibahas adalah gerbang logika NOT (Inverter), AND, dan OR. Sedangkan gerbang-gerbang logika kombinasional adalah gerbang logika NOT AND (NAND), NOT OR (atau NOR), EKSKLUSIVE OR (atau XOR), dan EKSKLUSIVE NOT OR (atau XNOR). Gerbang-gerbang ini akan dibahas pada modul selanjutnya.

2. GERBANG-GERBANG LOGIKA DASAR

2.1. GERBANG LOGIKA NOT (INVERTER)

Gerbang logika inverter yang sering disebut gerbang logika NOT adalah sebuah gerbang logika yang memiliki hanya satu input dan hanya satu output, fungsinya sebagai pembalik.

Prinsip kerja dari gerbang logika Inverter sangat sederhana, yaitu apapun keadaan isyarat yang diberikan pada bagian input akan dibalik oleh gerbang logika ini sehingga pada bagian keluarannya akan menjadi berlawanan, atau keadaannya terbalik. Gerbang ini mengubah logika sensor sebuah sinyal biner.

Simbol inverter dinyatakan dengan sebuah segitiga dengan sebuah lingkaran kecil atau gelembung (bubble). Perhatikan Gambar

Gambar Gerbang Inverter

Persamaan Aljabar Boole untuk sebuah inverter ditulis :

Garis yang terdapat di atas huruf A disebut dengan garis pembalik (Bar inversion), yang digunakan untuk menunjukkan komplemen.

Truth Table Inverter

A	X
0	1
1	0

Gerbang logika NOT tersedia dalam kemasan sebagai IC (Integrated Circuit). Tata letak pin IC, tipe gerbang logika dan spesifikasi teknik semuanya termuat dalam manual data logika yang disediakan oleh pabrik pembuat (manufacturer) dari IC tersebut. Salah satu IC untuk gerbang inverter adalah IC 7404. Setiap kemasan IC di dalamnya memiliki 6 gerbang logika NOT.

2.2. GERBANG LOGIKA AND

Gerbang AND mempunyai dua atau lebih dari dua sinyal masukan tetapi hanya satu sinyal keluaran. Gerbang AND mempunyai sifat bila sinyal keluaran ingin HIGH (1) maka semua sinyal masukan harus dalam keadaan HIGH (1). Selain keadaan tersebut, keluarannya bernilai LOW (0).

Simbol untuk gerbang AND terdapat pada Gambar

Gambar Gerbang Logika AND

Persamaan Aljabar Boole untuk gerbang AND ditulis :

Truth Table AND

A	B	X
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

IC untuk gerbang logika AND, salah satunya adalah IC 7408. Setiap kemasan IC berisi empat gerbang logika AND, masing-masing memiliki dua input.

2.3. GERBANG LOGIKA OR

Gerbang OR mempunyai dua atau lebih dari dua sinyal masukan tetapi hanya satu sinyal keluaran. Gerbang OR mempunyai sifat bila salah satu dari sinyal masukan HIGH (1), maka sinyal keluaran akan menjadi HIGH (1) juga. Pada gerbang ini, keluaran akan bernilai LOW (0), jika semua masukkan bernilai LOW (0).

Simbol untuk gerbang AND terdapat pada Gambar

Gambar Gerbang Logika OR

Truth Table AND

A	B	X
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

IC untuk gerbang logika OR, salah satunya adalah IC 7432. Setiap kemasan IC berisi empat gerbang logika OR, masing-masing memiliki dua input.

Sebagai contoh dari bilangan desimal, untuk angka 157:
157(10) = (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1)
Perhatikan! bilangan desimal ini sering juga disebut basis 10. Hal ini dikarenakan perpangkatan 10 yang didapat dari 100, 101, 102, dst.
Mengenal Konsep Bilangan Biner dan Desimal
Perbedaan mendasar dari metoda biner dan desimal adalah berkenaan dengan basis. Jika desimal berbasis 10 (X10) berpangkatkan 10x, maka untuk bilangan biner berbasiskan 2 (X2) menggunakan perpangkatan 2x. Sederhananya perhatikan contoh di bawah ini!
Untuk Desimal:
14(10) = (1 x 101) + (4 x 100)
= 10 + 4
= 14
Untuk Biner:
1110(2) = (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20)
= 8 + 4 + 2 + 0
= 14
Bentuk umum dari bilangan biner dan bilangan desimal adalah :
Biner
1
1
1
1
1
1
1
1
11111111
Desimal
128
64
32
16
8
4
2
1
255
Pangkat
27
26
25
24
23
22
21
20
X1-7
Sekarang kita balik lagi ke contoh soal di atas! Darimana kita dapatkan angka desimal 14(10) menjadi angka biner 1110(2)?
Mari kita lihat lagi pada bentuk umumnya!
Biner
0
0
0
0
1
1
1
0
00001110
Desimal
0
0
0
0
8
4
2
0
14
Pangkat
27
26
25
24
23
22
21
20
X1-7
Mari kita telusuri perlahan-lahan!
• Pertama sekali, kita jumlahkan angka pada desimal sehingga menjadi 14. anda lihat angka-angka yang menghasilkan angka 14 adalah 8, 4, dan 2!
• Untuk angka-angka yang membentuk angka 14 (lihat angka yang diarsir), diberi tanda biner “1”, selebihnya diberi tanda “0”.
• Sehingga kalau dibaca dari kanan, angka desimal 14 akan menjadi 00001110 (terkadang dibaca 1110) pada angka biner nya.
Mengubah Angka Biner ke Desimal
Perhatikan contoh!
1. 11001101(2)
Biner
1
1
0
0
1
1
0
1
11001101
Desimal
128
64
0
0
8
4
0
1
205
Pangkat
27
26
25
24
23
22
21
20
X1-7
Note:
• Angka desimal 205 didapat dari penjumlahan angka yang di arsir (128+64+8+4+1)
• Setiap biner yang bertanda “1” akan dihitung, sementara biner yang bertanda “0” tidak dihitung, alias “0” juga.
2. 00111100(2)
Biner
0
0
1
1
1
1
0
0
00111100
0
0
0
32
16
8
4
0
0
60
Pangkat
27
26
25
24
23
22
21
20
X1-7
Mengubah Angka Desimal ke Biner
Untuk mengubah angka desimal menjadi angka biner digunakan metode pembagian dengan angka 2 sambil memperhatikan sisanya.
Perhatikan contohnya!
1. 205(10)
205 : 2 = 102 sisa 1
102 : 2 = 51 sisa 0
51 : 2 = 25 sisa 1
25 : 2 = 12 sisa 1
12 : 2 = 6 sisa 0
6 : 2 = 3 sisa 0
3 : 2 = 1 sisa 1
1 􀃆 sebagai sisa akhir “1”
Note:
Untuk menuliskan notasi binernya, pembacaan dilakukan dari bawah yang berarti 11001101(2)
2. 60(10)
60 : 2 = 30 sisa 0
30 : 2 = 15 sisa 0
15 : 2 = 7 sisa 1
7 : 2 = 3 sisa 1
3 : 2 = 1 sisa 1
1 􀃆 sebagai sisa akhir “1”
Note:
Dibaca dari bawah menjadi 111100(2) atau lazimnya dituliskan dengan 00111100(2). Ingat bentuk umumnnya mengacu untuk 8 digit! Kalau 111100 (ini 6 digit) menjadi 00111100 (ini sudah 8 digit).
Aritmatika Biner
Pada bagian ini akan membahas penjumlahan dan pengurangan biner. Perkalian biner adalah pengulangan dari penjumlahan; dan juga akan membahas pengurangan biner berdasarkan ide atau gagasan komplemen.
Penjumlahan Biner
Penjumlahan biner tidak begitu beda jauh dengan penjumlahan desimal. Perhatikan contoh penjumlahan desimal antara 167 dan 235!
1 􀃆 7 + 5 = 12, tulis “2” di bawah dan angkat “1” ke atas!
167
235
---- +
402
Seperti bilangan desimal, bilangan biner juga dijumlahkan dengan cara yang sama. Pertama-tama yang harus dicermati adalah aturan pasangan digit biner berikut:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 􀃆 dan menyimpan 1
sebagai catatan bahwa jumlah dua yang terakhir adalah :
1 + 1 + 1 = 1 􀃆 dengan menyimpan 1
Dengan hanya menggunakan penjumlahan-penjumlahan di atas, kita dapat melakukan penjumlahan biner seperti ditunjukkan di bawah ini:
1 1111 􀃆 “simpanan 1” ingat kembali aturan di atas!
01011011 􀃆 bilangan biner untuk 91
01001110 􀃆 bilangan biner untuk 78
------------ +
10101001 􀃆 Jumlah dari 91 + 78 = 169
Silahkan pelajari aturan-aturan pasangan digit biner yang telah disebutkan di atas!
Contoh penjumlahan biner yang terdiri dari 5 bilangan!
11101 bilangan 1)
10110 bilangan 2)
1100 bilangan 3)
11011 bilangan 4)
1001 bilangan 5)
-------- +
untuk menjumlahkannya, kita hitung berdasarkan aturan yang berlaku, dan untuk lebih mudahnya perhitungan dilakukan bertahap!
11101 bilangan 1)
Berapakah bilangan desimal
untuk bilangan 1,2,3,4 dan 5 !!
10110 bilangan 2)
------- +
110011
1100 bilangan 3)
------- +
111111
11011 bilangan 4)
------- +
011010
1001 bilangan 5)
------- +
1100011 􀃆 Jumlah Akhir .
sekarang coba tentukan berapakah bilangan 1,2,3,4 dan 5! Apakah memang perhitungan di atas sudah benar?
Pengurangan Biner
Pengurangan bilangan desimal 73426 – 9185 akan menghasilkan:
73426 􀃆 lihat! Angka 7 dan angka 4 dikurangi dengan 1
9185 􀃆 digit desimal pengurang.
--------- -
64241 􀃆 Hasil pengurangan akhir .
Bentuk Umum pengurangan :
0 – 0 = 0
1 – 0 = 0
1 – 1 = 0
0 – 1 = 1 􀃆 dengan meminjam ‘1’ dari digit disebelah kirinya!
Untuk pengurangan biner dapat dilakukan dengan cara yang sama. Coba perhatikan bentuk pengurangan berikut:
1111011 􀃆 desimal 123
101001 􀃆 desimal 41
--------- -
1010010 􀃆 desimal 82
Pada contoh di atas tidak terjadi “konsep peminjaman”. Perhatikan contoh berikut!
0 􀃆 kolom ke-3 sudah menjadi ‘0’, sudah dipinjam!
111101 􀃆 desimal 61
10010 􀃆 desimal 18
------------ -
101011 􀃆 Hasil pengurangan akhir 43 .
Pada soal yang kedua ini kita pinjam ‘1’ dari kolom 3, karena ada selisih 0-1 pada kolom ke-2. Lihat Bentuk Umum!
7999 􀃆 hasil pinjaman
800046
397261
--------- -
402705
Sebagai contoh pengurangan bilangan biner 110001 – 1010 akan diperoleh hasil sebagai berikut:
1100101
1010
---------- -
100111
Komplemen
Salah satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan pada komputer yang ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minusradiks-komplemen satu atau komplemen radiks. Pertama-tama kita bahas komplemen di dalam sistem desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan disebut dengan komplemen sembilan dan komplemen sepuluh (komplemen di dalam system biner disebut dengan komplemen satu dan komplemen dua). Sekarang yang paling penting adalah menanamkan prinsip ini:
“Komplemen sembilan dari bilangan desimal diperoleh dengan mengurangkan masing-masing digit desimal tersebut ke bilangan 9, sedangkan komplemen sepuluh adalah komplemen sembilan ditambah 1”
Lihat contoh nyatanya!
Bilangan Desimal 123 651 914
Komplemen Sembilan 876 348 085
Komplemen Sepuluh 877 349 086 􀃆 ditambah dengan 1!
Perhatikan hubungan diantara bilangan dan komplemennya adalah simetris. Jadi, dengan memperhatikan contoh di atas, komplemen 9 dari 123 adalah 876 dengan simple menjadikan jumlahnya = 9 ( 1+8=9, 2+7=9 , 3+6=9 )!
Sementara komplemen 10 didapat dengan menambahkan 1 pada komplemen 9, berarti 876+1=877!
Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan komplemen sembilan plus satu, atau penjumlahan dari komplemen sepuluh!
893 893 893
321 678 (komp. 9) 679 (komp. 10)
---- - ---- + ---- +
572 1571 1572
1
---- +
572 􀃆 angka 1 dihilangkan!
Analogi yang bisa diambil dari perhitungan komplemen di atas adalah, komplemen satu dari bilangan biner diperoleh dengan jalan mengurangkan masing-masing digit biner tersebut ke bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah masing-masing 0 menjadi 1 atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0. Sedangkan komplemen dua adalah satu plus satu. Perhatikan Contoh .!
Bilangan Biner 110011 101010 011100
Komplemen Satu 001100 010101 100011
Komplemen Dua 001101 010110 100100
Pengurangan biner 110001 – 1010 akan kita telaah pada contoh di bawah ini!
110001 110001 110001
001010 110101 110110
--------- - --------- + --------- +
100111 100111 1100111
dihilangkan!
Alasan teoritis mengapa cara komplemen ini dilakukan, dapat dijelaskan dengan memperhatikan sebuah speedometer mobil/motor dengan empat digit sedang membaca nol!
Sistem Oktal dan Heksa Desimal
Bilangan oktal adalah bilangan dasar 8, sedangkan bilangan heksadesimal atau sering disingkat menjadi heks. ini adalah bilangan berbasis 16. Karena oktal dan heks ini merupakan pangkat dari dua, maka mereka memiliki hubungan yang sangat erat. oktal dan heksadesimal berkaitan dengan prinsip biner!
1. Ubahlah bilangan oktal 63058 menjadi bilangan biner !
6 3 0 5 􀃆 oktal
110 011 000 101 􀃆 biner
Note:
• Masing-masing digit oktal diganti dengan ekivalens 3 bit (biner)
• Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Oktal di bawah!
2. Ubahlah bilangan heks 5D9316 menjadi bilangan biner !
heks 􀃆 biner
5 􀃆 0101
D 􀃆 1101
9 􀃆 1001
3 􀃆 0011
Note:
• Jadi bilangan biner untuk heks 5D9316 adalah 0101110110010011
• Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Heksadesimal di bawah!
3. Ubahlah bilangan biner 1010100001101 menjadi bilangan oktal !
001 010 100 001 101 􀃆 biner
3 2 4 1 5 􀃆 oktal
Note:
• Kelompokkan bilangan biner yang bersangkutan menjadi 3-bit mulai dari kanan!
4. Ubahlah bilangan biner 101101011011001011 menjadi bilangan heks !
0010 1101 0110 1100 1011 􀃆 biner
2 D 6 C B 􀃆 heks
Tabel Digit Oktal
Digit Oktal
Ekivalens 3-Bit
0
000
1
001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
111
Tabel Digit Heksadesimal
Digit Desimal
Ekivalens 4-Bit
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001
A (10)
1010
B (11)
1011
C (12)
1100
D (13)
1101
E (14)
1110
F (15)
1111

NOR ≥ F B

Gambar Simbol Gerbang OR dan NOR Tabel Kebenaran dari Gerbang OR dan NOR

Masukan		Keluaran
A	B	OR	NOR
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1	1 0 0 0

c. Gerbang NOT

Gerbang NOT merupakan gerbang satu-masukan yang berfungsi sebagai pembalik (inverter). Jika masukannya tinggi, maka keluarannya rendah, dan sebaliknya. Tabel kebenaran dari gerbang NOT tersaji pada Tabel 6.

A F

Simbol Gerbang NOT

Tabel Kebenaran Gerbang NOT

Masukan A	Keluaran F
0 1	1 0

d. Gerbang XOR

Gerbang XOR (dari kata exclusive-or) akan memberikan keluaran 1 jika masukan-masukannya mempunyai keadaan yang berbeda. Dari Tabel tersebut dapat dilihat bahwa keluaran pada gerbang XOR merupakan penjumlahan biner dari masukannya.

XOR XNOR Gerbang XOR dan XNOR

Tabel 7. Tabel Kebenaran dari Gerbang XORdan XNOR

Masukan		Keluaran (F)
A	B	XOR	XNOR
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 0	1 0 0 1

anton collection

Selasa, 15 Desember 2015

sistem komputer smt 1